证明: $x^{d}-1 \mid x^{n}-1$, 当且仅当 $d \mid n$.
证法 I：
充分性. 设 $d \mid n$, 且 $n=q d$. 则 $x^{n}-1=\left(x^{d}\right)^{q}-1=\left(x^{d}-1\right) \cdot\left(x^{(q \cdot 1) d}+x^{(q \cdot 2) d}+\cdots+1\right)$, 故 $x^{d}-1 \mid x^{n}-1$.
必要性. 设 $x^{d}-1 \mid x^{n}-1$, 令 $n$ 被 $d$ 除得: \(n=q d+r, \quad 0 \leqslant r<d,\) 则 $x^{n}-1=x^{q d+r}-1=\left(x^{q d}-1\right) x^{r}+x^{r}-1$ 因为 $x^{d}-1 \mid x^{n}-1$ 但由于 $0 \leqslant r<d$, 故 于 $0 \leqslant r<d$, 故 $\quad x^{d}-1 \mid x^{r}-1 .$
证法 II:
充分性. 设 $d \mid n$ 且 $\varepsilon$ 是一个 $d$ 次原根, 即 \(1, \varepsilon, \varepsilon^{2}, \cdots, \varepsilon^{d-1}\) 为 $x^{d}-1$ 的所有根, 从而 $\epsilon^{n}=1$. 于是 \(\left(\varepsilon^{s}\right)^{n}=\left(\varepsilon^{n}\right)^{s}, \quad s=0,1, \cdots, d-1 .\) 即 $x^{d}-1$ 的所有根全是 $x^{n}-1$ 的根, 故 $x^{d}-1 \mid x^{n}-1$.
必要性. 设 $x^{d}-1 \mid x^{n}-1$, 且 $\varepsilon$ 为 $d$ 次单位原根, 则 $\varepsilon$ 也 是 $x^{n}-1$ 的根, 从而 $\varepsilon^{n}=1$.
设 \(n=d q+r, \quad 0 \leq r<d\) 于是 \(\varepsilon^{n}=\epsilon^{d \varphi-r}=\varepsilon^{r}=1 .\) 但由于 $\varepsilon$ 为 $d$ 次原根, 故 $r=0$. 即 $d \mid n$.