\(\begin{align} \\&设函数f(x)在点x_0处可导，l(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)，试证明对于不等于l(x)的其他任何 \\&L(x)=ax+b,存在\delta ＞0，使得当0<|x-x_0|<\delta \ 时,成立不等式： \\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |f(x)-l(x)|＜ |f(x)-L(x)| \end{align}\)
解答
\[\begin{align} &分两种情况讨论 \\&(1)L(x_0)≠f(x_0). \\&几何上表明直线L(x)不经过点(x_0,y_0),其中y_0=f(x_0)=l(x_0) \\&由于L(x_0)≠y_0， \\&利用|f(x)-l(x)|=|f(x_0)-l(x_0)|=0＜|f(x_0)-L(x_0)|=\lim_{x \to x_0}|f(x)-L(x)| \\&和连续函数的局部保号性，存在\delta ＞0，使得当|x-x_0|＜\delta \ 时，所要的不等式成立 \\&（注意：此时x=x_0是允许的） \\&(2)L(x_0)=f(x_0)，几何上表明直线经过点(x_0,y_0)，即有 \\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ L(x_0)=f(x_0)=l(x_0)=ax_0+b \\&由于L(x)≠l(x)，所以必有a≠f^\prime(x_0),由于导数f^\prime(x_0)存在，有 \\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0) \ \ \ \ \ (x\rightarrow x_0) \\&因此有\ f(x)-l(x)=o(x-x_0) \\&另一方面，既然a≠f^\prime(x_0),因此有 \\&\frac{f(x)-l(x)}{f(x)-L(x)}=\frac{o(x-x_0)}{[f^\prime(x_0)-a](x-x_0)+o(x-x_0)}=o(1)\ \ \ \ \ (x\rightarrow x_0) \\&从而存在\delta ＞0 ，使得当0＜|x-x_0|<\delta 时，所求证不等式成立 \end{align}\]