题目： \(\begin{align} &设F(x)是f(x)的一个原函数，且当x≥0时，有f(x)F(x)=\frac{x^2 e^x}{(x+2)^2}. \\&若F(0)=1，F(x)＞0，求F(x)的表达式 \end{align}\)
解答：
\[\begin{align} &F(x)F^\prime(x)=\frac{x^2 e^x}{(x+2)^2} \\&两边对x积分得\int F(x)F^\prime(x)dx=\int\frac{x^2 e^x}{(x+2)^2}dx \\&左边积分，得\int F(x)F^\prime(x)dx=\frac12 F(x)^2 \\&右边积分不太方便直接求，我们使用待定系数法，设被积分函数为G(x)e^x \\&易得G(x)=\frac{Ax+B}{x+2}，则有G^\prime(x)+G(x)=\frac{x^2}{(x+2)^2} \\&而\ G^\prime(x)+G(x)=\frac{Ax^2+(2A+B)x+(2A+B)}{x+2} \\&故\begin{cases} A=1\\2A+B=0 \end{cases}\Longrightarrow G(x)=\frac{x-2}{x+2} \\&\Longrightarrow\frac12F(x)^2=\frac{x-2}{x+2}e^x+C \\&由F(0)=1,得\ C=\frac32 \Longrightarrow F(x)=\sqrt{\frac{2(x-2)}{x+2}e^x+3} \end{align}\]