题目： \(\begin{align} \\&M_{2×2}是所有2×2矩阵构成的向量空间，定义T：M_{2×2}\rightarrow M_{2×2}，为T（A）=A+A^T \\&其中A= \left[\begin{matrix} a & b\\ c & d \end{matrix}\right] \\&(1)证明T是线性变换 \\&(2)B\in M_{2×2}，且B^T=B,求A\in M_{2×2},使得T(A)=B \\&(3)证明T的值域是M_{2×2}中满足B^T=B的集合 \end{align}\)
解答：
\[\begin{align} \\&(1)考虑A,B\in M_{2×2}，C\in R \\&T(A+B)=A+B+(A+B)^T=A+B+A^T+B^T=T(A)+T(B) \\& T(cA)=(cA)+(cA)^T=cT(A) \\&\Longrightarrow T是线性变换 \\ \\&(2)考虑A=\frac12 B \\&T(A)=\frac12 B+\frac12 B^T=\frac12 B+\frac12 B=B \\ \\&(3)由(2)知，T的值域包含了所有的B \\&B=T(A)\Longrightarrow B^T=(A+A^T)^T=A^T+A=B \\&故T的值域是M_{2×2}中满足B^T=B的集合 \end{align}\]