题目： （1）设 $f(x) \in C^{(1)} \in(-\infty,+\infty)$, 且对于任何 $x$ 和 $h$ 成立恒等式 $f(x+h)-f(x)=h f^{\prime}(x)$. 证明 : $f(x)=a x+b$, (其中 $a$ 和 $b$ 为常数)
（2）设 $f(x) \in C^{(2)}(-\infty,+\infty)$, 且对于任何 $x$ 和 $h$ 成立恒等式 $f(x+h)-f(x) \equiv h f^{\prime}\left(x+\frac{h}{2}\right)$. 证明 : $f(x)=a x^{2}+b x+c$, (其中 $a, b$ 和 $c$ 为常数)
答案:
（1）由拉格朗日中值定理,
$h f^{\prime}(\xi)=h f^{\prime}(x) \quad \xi \in(x, x+h) \Rightarrow(\xi-x) f^{\prime \prime}(y)=0 \quad y \in(x, \xi)$
由 $x, h$ 取值任意性有 $y \in R \Rightarrow \forall x \in R, f^{\prime \prime}(x)=0 \Rightarrow f(x)=a x+b$.
（2）将题干式子变形得
$f(x+h)-f\left(x+\frac{h}{2}\right)+f\left(x+\frac{h}{2}\right)-f(x)=g f^{\prime}\left(x+\frac{h}{2}\right)$,
由题目条件 $\frac{1}{2} h f^{\prime}\left(x+\frac{3 h}{4}\right)+\frac{1}{2} h f^{\prime}\left(x+\frac{h}{4}\right)=h f^{\prime}\left(x+\frac{h}{2}\right)$ 即 $f^{\prime}\left(x+\frac{3 h}{4}\right)-f^{\prime}\left(x+\frac{h}{2}\right)-\left[f\left(x+\frac{h}{2}\right)-f\left(x+\frac{h}{4}\right)\right]=0$ 由拉格朗日中值定理, $f^{\prime \prime}(\xi)-f^{\prime \prime}(\eta)=0$, 其中 $\xi \in\left(x+\frac{h}{2}, x+\frac{3 h}{4}\right), \eta \in\left(x+\frac{h}{4}, x+\frac{h}{2}\right)$ $\Rightarrow(\xi-\eta) f^{\prime \prime}(\zeta)=0$, 其中 $\zeta \in(\xi, \eta)$.
由 $x, h$ 取值任意性， $\zeta \in R \Rightarrow f(x)=a x^{2}+b x+c$