题目： \(设\xi,\eta是随机变量，证明:\xi 与\eta独立当且仅当对任何有界Borel可测函数g\\ 有E(g(\xi \ |\ \eta))=E(g(\xi))，也等价于对\forall x \in R,E(e^{ix\xi}|\eta)=Ee^{ix\xi}\)
证明：
\[\begin{align} &(i)\xi 与\eta 独立 \\&(ii)对任何有界Borel可测函数g，有E(g(\xi|\eta))=E(g(\xi)) \\&(iii)对\forall x\in \R,有E(e^{ix\xi}| \eta)=Ee^{ix\xi} \\(i)\Rightarrow &(ii):由条件概率的性质，显然; (ii)\Rightarrow (iii) ,trivial \\(iii)\Rightarrow&(i):令z=e^{ix\eta},则E(ze^{ix\xi})=E[E(ze^{ix\xi}|\eta)](由重期望公式) \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =E[zE(e^{ix\xi|\eta})](z=e^{ix\eta}在\eta 的生成的\sigma域内)\\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =E(ZEe^{ix\xi})=Ez·Ee^{ix\xi}(z与\xi独立) \\&故E(e^{ix\xi}·e^{ix\eta})=Ee^{ix\xi}·Ee^{ix\eta} \\&由Ee^{ix\xi}和Ee^{ix\eta}分别为\xi,\eta的特征函数和唯一性定理,\xi 与\eta 独立 \\Remark:&(ii)\Rightarrow (i)可直接取g为全部示性函数，即 \\&E(1_A(\xi)|\eta)=P(\{\xi \in A\}|\eta)=P(\xi \in A),对\eta \in B,有 \\&P(\xi \in A|\eta \in B)=\frac{P(\xi \in A,\eta \in B)}{P(\eta \in B)}=P(\xi \in A),即\xi与\eta 独立 \end{align}\]