题目：设 $A, B$ 都是 $m \times n$ 矩阵, $A=B U, B=A V$, 这里$U 、 V$ 都是 $n$ 阶方阵. 证明: 存在可逆矩阵 $T$, 使 $B=A T$.
证明：由 $A=B U$ 知, $r(A) \leqslant r(B)$, 由 $B=A V$ 知, $r(B)\leqslant r(A)$, 所以 $r(A)=r(B)$, 且设其为 $r$.
\[A P=\left(A_{1}, 0\right), \quad B Q=\left(B_{1}, 0\right),\]其中 $P 、 Q$ 是非奇异矩阵, $A_{1} 、 B_{1}$ 是秩为 $r$ 的 $m \times r$ 矩阵. 令$P=\left(P_{1}, P_{2}\right), Q^{-1}=\left(\begin{array}{l}Q_{1} \ Q_{2}\end{array}\right)$, 则由 (1) 式得 $A P_{1}=A_{1}, B=\left(B_{1}，0)\right.$$Q^{-1}=B_{1} Q_{1}$, 由此有
\[A_{1}=A P_{1}=B U P_{1}=B_{1} Q_{1} U P_{1}=B_{1} W_{1},\]其中 $W_{1}=Q_{1} U P_{1}$ 是 $r$ 阶方阵, 且 $r=r\left(A_{1}\right) \leqslant r\left(W_{1}\right)$, 所以 $r\left(W_{1}\right)=r$, 即 $W_{1}$ 是非奇异的. 于是有
\[\begin{aligned} B &=\left(B_{1}, 0\right) Q^{-1}=\left(A_{1} W_{1}^{-1}, 0\right) Q^{-1} \\ &=\left(A_{1}, 0\right)\left(\begin{array}{cc} W_{1}^{-1} & 0 \\ 0 & E \end{array}\right) Q^{-1} \\ &=A P\left(\begin{array}{cc} W_{1}^{-1} & 0 \\ 0 & E \end{array}\right) Q^{-1}=A T . \end{aligned}\] \[其中 T=P\left(\begin{array}{cc}W_{1}^{-1} & 0 \\ 0 & E\end{array}\right) Q^{-1} 显然是非奇异矩阵.\]