证明： \(若函数f(x)在无穷的区间(x_0,+\infty)内可微，且\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0, \\则\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=0,即:当x\rightarrow+\infty时，f(x)=o(x)\)
证
\[由于\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0，故对任给\varepsilon >0,存在X_1>0,使当x>X_1时，恒有 \\|f'(x)|<\frac{\varepsilon}{2} \\今在(X_1,+\infty)内任取一点a，则当x>a时，由有限增量公式得 \\|f(x)-f(a)|=|x-a||f'(\xi)|<\frac{\varepsilon}{2}|x-a| \\由于|f(x)|-|f(a)|≤|f(x)-f(a)| \\所以|f(x)|≤|f(a)|+\frac{\varepsilon}{2}|x-a| \\再取X_2>a,使得\frac{|f(a)|}{X_2}<\frac{\varepsilon}{2},则当x<X_2时，恒有 \\|\frac{f(x)}{x}|≤\frac{|f(a)|}{x}+\frac{\epsilon}{2}\frac{|x-a|}{x}<\frac{|f(a)|}{X_2}+\frac{\varepsilon}{2}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \\所以\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=0,即:当x\rightarrow+\infty时，f(x)=o(x)\]