题目： \(求矩阵A_{n}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & \cdots & n \\ n+1 & n+2 & \cdots & 2 n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n(n-1)+1 & n(n-1)+2 & \cdots & n^{2}\end{array}\right] 的特征值\)
首先来给出一个引理：
如果 $A \in M_{m, n}, B \in M_{n, m}$ 且 $m \leq n$, 则 $B A$ 的 $n$ 个特征值为 $A B$ 的 $m$ 个特征值再 加上 0 , 其中 0 为 $n-m$ 重特征值。
解答： \(\begin{gathered} A_{n}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & \cdots & n \end{array}\right]+ {\left[\begin{array}{cccc} 0 & & 0 & \cdots & 0 \\ n & & n & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n(n-1) & n(n-1) & \cdots & n(n-1) \end{array}\right]} \end{gathered}\) \(\begin{aligned} &\text { 令 } x=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{array}\right], y=\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \vdots \\ n \end{array}\right], z=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ n-1 \end{array}\right] w=\left[\begin{array}{c} n \\ n \\ \vdots \\ n \end{array}\right] \text {, 则 } A=x y^{T}+z w^{T} 。 \end{aligned}\) 而 \(\left[\begin{array}{ll} y & w \end{array}\right]^{T}\left[\begin{array}{ll} x & z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} y^{T} x & y^{T} z \\ w^{T} x & w^{T} z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \frac{n(n+1)}{2} & \frac{n\left(n^{2}-1\right)}{3} \\ n^{2} & \frac{n^{2}(n-1)}{2} \end{array}\right]\) 其特征值为
$\lambda_{1,2}=\frac{1}{2}\left(\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n^{2}(n-1)}{2} \pm \sqrt{\left[\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n^{2}(n-1)}{2}\right]^{2}+\frac{4}{3} n^{2} n\left(n^{2}-1\right)}\right.$ 化简即可得 $\lambda_{1,2}=\frac{n}{2}\left(\frac{n^{2}+1}{2} \pm \sqrt{\frac{n^{4}}{4}+\frac{n^{3}}{3}+\frac{n^{2}}{2}-\frac{n}{3}+\frac{1}{4}}\right.$
注：引理的证明
显然有如下等式
\[\left[\begin{array}{cc}I_{m} & -A \\ 0 & I_{n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A B & 0 \\ B & 0_{n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I_{m} & A \\ 0 & I_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0_{m} & 0 \\ B & B A\end{array}\right.\]所以 \(\left[\begin{array}{cc}A B & 0 \\ B & 0_{n}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0_{m} & 0 \\ B & B A\end{array}\right]\) 相似, 故两个矩阵有共同的特征值。由于第一个矩阵的特 征值为 $A B$ 的特征值加上 $0(n$ 重) , 第二 个矩阵的特征值为 $B A$ 的特征值加上 $0(m$ 重）,所以引理成立。 进一步地, 利用引理可得出, 如果一个矩阵 $A$ 可 表示为
\[A=x y^{T}+z w^{T}=\left[\begin{array}{ll}x & z\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}y & w\end{array}\right]^{T}\]其中 $x, y, z, w \in C^{n}$, 则 $A$ 的特征值为 0 ( $n-2$ 重）与矩阵
\[\left[\begin{array}{ll}y & w\end{array}\right]^{T}\left[\begin{array}{ll}x & z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}y^{T} x & y^{T} z \\ w^{T} x & w^{T} z\end{array}\right]\]的两个特征值。