题目：计算积分 $\iint_{S}(y+z) d y d z+(z+x) d z d x+(x+y) d x d y$. 其 S是立方体 ${0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1} $ 与平面 $x+y+z=\frac{3}{2} $ 相交而成的平面 定向取向上方向
解答：
\[\begin{aligned} S的&法向量为\ \overrightarrow n=(1,1,1) \\原式&\left.=\iint_{S}(y+z) \cos \alpha+(z+x) \cos \beta+(x+y) \cos \gamma\right) d S \\ &=\frac{2 \sqrt{3}}{3} \iint_{S}(x+y+z) d S \\ &=\sqrt{3} \iint_{S} d S =\sqrt{3} \times \frac{3 \sqrt{3}}{4} =\frac{9}{4} \end{aligned}\]