题目： \(设A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots&\ &\cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right)为实对称矩阵. \\证明: 如果 A 的主对角线上所有元素的和以 及所有 二 阶主子式的和都是零, 则 A 必为零矩阵.\)
证明：
由假设
\(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}=0\) 两端平方,得
\(\sum_{i=1}^{n} a_{i i}^{2}+2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i i} a_{j j}=0\) 又因 $A$ 是对称的, 其一切二阶主子式的和为
\[\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n}\left|\begin{array}{ll}a_{i i} & a_{i j} \\ a_{i j} & a_{j j}\end{array}\right|=\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n}\left(a_{i i} a_{j j}-a_{i j}^{2}\right)=0\]从而
\(\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i i} a_{j j}=\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i j}^{2} .\) 代入得
\(\sum_{i=1}^{n} a_{i j}^{2}+2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i j}^{2}=0\) 由于 $A$ 为实矩阵,故
\(\sum_{i=1}^{n} a_{i j}^{2}=0, \quad \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} a_{i j}^{2}=0,\) 从而 $a_{i i}=a_{i j}=0$, 即 $A=0$.