题目： \(\text { 设函数 } f(x) \text { 连续, 且 } f(x+1)-f(x)=\mathrm{e}^{x}+2 x+1 \text {. 若 } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{4}{3} \text {, 求 } \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x \text {. }\)
解法 1: (换元积分法, 定积分计算. 原型函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+x^{2}$ )
因为 $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x+1) \mathrm{d} x$, 且 $f(x+1)-f(x)=\mathrm{e}^{x}+2 x+1$, 所以
\[\begin{gathered} \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}[f(x+1)-f(x)] \mathrm{d} x \\ =\int_{0}^{1}\left(\mathrm{e}^{x}+2 x+1\right) \mathrm{d} x=\mathrm{e}+1 \end{gathered}\]故 $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\mathrm{e}+1+\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\mathrm{e}+\frac{7}{3}$.
解法 2: (变限定积分函数的性质, 定积分计算)
因为 $\left(\int_{x}^{x+1} f(t) \mathrm{d} t\right)^{\prime}=f(x+1)-f(x)$, 且 $f(x+1)-f(x)=\mathrm{e}^{x}+2 x+1$, 所以
\[\int_{x}^{x+1} f(t) \mathrm{d} t=\int\left(\mathrm{e}^{x}+2 x+1\right) \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{x}+x^{2}+x+C .\]由 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{4}{3}$, 知 $1+C=\frac{4}{3}$, 得 $C=\frac{1}{3}$.
所以 $\int_{1}^{2} f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{e}+\frac{7}{3}$.