题目：向一目标射击, 目标中心为坐标原点, 已知命中点的横坐标 $X$ 和纵坐标 $Y$ 相 互独立, 且均服从 $N\left(0,2^{2}\right)$ 分布. 求
(1) 命中环形区域 \(D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 2\right\}\) 的概率;
(2) 命中点到目标中心距离 $Z=\sqrt{X^{2}+Y^{2}}$ 的数学期望.
解答：
(1)
\[\begin{aligned} &\text { (1) } P\{X, Y) \in D\}=\iint_{D} f(x, y) d x d y \\ =& \iint_{D} \frac{1}{2 \pi \cdot 4} e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{8}} d x d y=\frac{1}{8 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \int_{1}^{2} e^{-\frac{r^{2}}{8}} r d r d \theta \\ =&-\int_{1}^{2} e^{-\frac{r^{2}}{8}} d\left(-\frac{r^{2}}{8}\right)=-\left.e^{-\frac{r^{2}}{8}}\right|_{1} ^{2}=e^{-\frac{1}{3}}-e^{-\frac{1}{2}} ; \end{aligned}\](2)
\[\begin{aligned} E Z &=E\left(\sqrt{X^{2}+Y^{2}}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{1}{8 \pi} e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{8}} d x d y \\ &=\frac{1}{8 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{+\infty} r e^{-\frac{r}{8}} r d r d \theta=\frac{1}{4} \int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{r^{2}}{8}} r^{2} d r \\&=-\left.r e^{-\frac{r^{2}}{8}}\right|_{0} ^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{r^{2}}{8}} d r=\frac{\sqrt{2 \pi}}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{r^{2}}{8}} d r=\sqrt{2 \pi} \end{aligned}\]——————————这是一道分割线————————
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❅ ❆ ( ・∀・)/ 平安夜快乐~ ~ ~ ~ ~（没有人一起过平安夜就做做题吧） . ⊂ ノ❅ ❆
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