（1）求A的特征向量$ v_1,v_2,v_3$ 与特征值
（2）$ x_0$是$ R^3$ 中的任一向量，其分量均非负且各分量和为1.证明：
\[\exists c_1,c_2,c_3,有x_0=c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3，且c_1=1\]（3）对（2）中的$ x_0$ ，定义$ x_k=A^kx_0$ ,证明:
\[\lim_{k\rightarrow \infty }x_k=v_1\]解
（1）易得 \(\lambda_{1}=1, v_{1}=\left[\begin{array}{c}0.3 \\ 0.6 \\ 0.1\end{array}\right], \lambda_{2}=0.5, v_{2}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ 2\end{array}\right], \lambda_{3}=0.2, v_{3}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]\)
（2） $v_{1}, v_{2}, v_{3} $ 对应不同特征值，故 ${v_{1}, v_{2}, v_{3}}$ 线性无关，是$R^3$的一个基
故存在唯一一组$ c_1,c_2,c_3$ 有$ x_0=c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3$,考虑$ w=[1,1,1]^T$，有
\[w^{\top} x_{0}=c_{1} w^{\top} v_{1}+c_{2} w^{\top} v_{2}+c_{3} w^{\top} v_{3}\]故$x_0$与$v_1$分量均为非负且各分量和为1，同时$ v_2,v_3$两元素和为0
故$c_1=1$
（3）已知$ x_0=c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3$
\[\therefore x_{k}=A^{k x_{0}}=A^{k_{1}} v_{1}+C_{2} A^{k} v_{2}+C_{3} A^{k} v_{3} \\\ =V_{1}+C_{2}(0,5)^{k} V_{2}+C_{3}(0,2)^{k} V_{3}\]显然，当$ k\rightarrow +\infty$时，$ x_k\rightarrow v_1$
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❅ ❆ ( ・∀・)/ 平安夜快乐~ ~ ~ ~ ~（没有人一起过平安夜就做做题吧）
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