题目： 若函数 $f$ 在点 $x_{0}$ 处 $n$ 阶可微, 且满足条件
\[f^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=\cdots=f^{(n-1)}\left(x_{0}\right)=0, f^{(n)}\left(x_{0}\right) \neq 0,:\]试证明：
(1) 若 $n$ 为奇数, 则 $x_{0}$ 一定不是 $f$ 的极值点;
(2) 若 $n$ 为偶数, 则当 $f^{(n)}\left(x_{0}\right)>0(<0)$ 时, $x_{0}$ 是函数 $f$ 的极小值点 (极大值点).
证明：
这时 $f$ 在 $x_{0}$ 的 Taylor 公式为
\[f(x)=f\left(x_{0}\right)+\frac{1}{n !} f^{(n)}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)\left(x \rightarrow x_{0}\right) \text {. }\]将它改写成
\[f(x)-f\left(x_{0}\right)=\frac{1}{n !}\left[f^{(n)}\left(x_{0}\right)+o(1)\right]\left(x-x_{0}\right)^{n}\left(x \rightarrow x_{0}\right)\]由于 $f^{(n)}\left(x_{0}\right) \neq 0$, 则存在 $\delta>0$, 当 $x \in O_{\delta}\left(x_{0}\right)$ 时, 右边的方括号中的 表达式的符号完全由 $f^{(n)}\left(x_{0}\right)$ 确定. 若 $n$ 为奇数, 则可以从看出当 $x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$ 和 $x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ 时, $f(x)-f\left(x_{0}\right)$ 异号, 因此 $x_{0}$ 一定不是极值点. 若 $n$ 为偶数, 则表明, 当 \(x \in O_{\delta}\left(x_{0}\right)-\left\{x_{0}\right\}\) 时, $f(x)-f\left(x_{0}\right)$ 与 $n$ 阶 导数 $f^{(n)}\left(x_{0}\right)$ 的符号一致. 因此当 $f^{(n)}\left(x_{0}\right)>0$ 时, $x_{0}$ 是 $f$ 的极小值点. 反之, 若 $f^{(n)}\left(x_{0}\right)<0$, 则 $x_{0}$ 是 $f$ 的极大值点.
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