设 $y=\varphi(x)(x \geq 0)$ 是严格单调增加的连续函数，$\varphi(0) = 0,x=\psi(y)$ 是它的反函数，证明： \(\int_0^a \varphi(x)dx + \int_0^b \psi(x)dx \geq ab (a \geq 0 , b \geq 0)\)
证明： 由 $y = \varphi(x)$也是严格单调增加的连续函数，$ \varphi(0)=0 $知其反函数 $x=\psi(y)$ 是严格单调增加函数，且 $\psi(0)=0$,
因而$\int_0^a \varphi(x)dx, \int_0^b \psi(y)dy $ 有定义。
令 $g(x) = bx - \int_0^x \varphi(t)dt,$ 特别的，有
\[g(a)=ab - \int_0^a \varphi(t)dt\]而且 $g’(x)=b- \varphi(x)$
由 $\varphi(x)$ 是严格单调增加的连续函数，因此当 $0 < x < \psi(b)$ 时，有$g’(x) = 0$，当 $x > \psi(b)$ 时，有$g’(x)<0$;
当 $x = \psi(b))$ 时，有 $g’(x)=0$ ,因此当 $x=\psi(b)$ 时， $g(x)$取最大值，即有
\[g(a) \leq \rm{max} g(x) =g(\psi(b))\]分部积分，得$\int_0^{\psi(b)} x\varphi’(x) dx = b\psi(b) - \int_0^{\psi(b)} \varphi(x) =g(\psi(b))$,记 $y=\varphi(x)$，则$x=\psi(y)$,于是
\[g(\psi(b))=\int_0^{\psi(b)}x\varphi'(x)dx=\int_0^b \psi(y) dy\]代入得$\int_0^a \varphi(x)dx + \int_0^b \psi(x)dx \geq ab (a \geq 0 , b \geq 0)$