\[\text { 设数 } a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \text { 互异. 解方程组 }\]
\[\left\{\begin{array}{c}
x_{1}+a_{1} x_{2}+\cdots+a_{1}^{n-1} x_{n}=-a_{1}^{n} \\
x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{2}^{n-1} x_{n}=-a_{2}^{n} \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
x_{1}+a_{n} x_{2}+\cdots+a_{n}^{n-1} x_{n}=-a_{n}^{n}
\end{array}\right.\]
解 易知方程组 的系数行列式 $D$ 是一个范德蒙德行列 式, 且由于数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互异, 故 $D \neq 0$. 从而由克拉默法则知, 其有唯一解. 不妨仍用 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 表示方程组的解, 则其就变成了 $n$ 个等式. 现在考虑以下关于末知量 $y$ 的 $n$ 次多项式:
\[f(y)=x_{1}+x_{2} y+\cdots+x_{n} y^{n-1}+y^{n} \text {. }\]由 于 $f\left(a_{i}\right)=0(i=1, \cdots, n)$, 即 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是 $f(y)$ 的全部根. 于是由根与系数关系知:
\[\begin{aligned} x_{1} &=(-1)^{n} a_{1} a_{2} \cdots a_{n}, \\ x_{2} &=(-1)^{n-1}\left(a_{2} \cdots a_{n}+a_{1} a_{3} \cdots a_{n}+\cdots+a_{1} a_{2} \cdots a_{n-1}\right), \\ & \cdots, \\ x_{n-1} &=a_{1} a_{2}+\cdots+a_{1} a_{n}+\cdots+a_{n-1} a_{n}, \\ x_{n} &=-\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right) \end{aligned}\]这就是方程组的唯一解.