设 $f(x) \in C^{(2)}[a, b]$, 试证: $\exists \xi \in(a, b)$, 使 \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime}(\xi)(b-a)^{3}\)
证明：
将 $f(x)$ 在点 $x_{0}=\frac{a+b}{2}$ 处展开为一阶泰勒公式.
\[f(x)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{2 !} f^{\prime \prime}(\eta)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^{2}\](其中 $\eta$ 间于 $x$ 与 $\frac{a+b}{2}$ 之间)
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)+\frac{1}{2} \int_{a}^{b} f^{\prime \prime}(\eta)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^{2} \mathrm{~d} x\]积分第一中值定理知 $\exists \xi \in(a, b)$, 使
\[\int_{a}^{b} f^{\prime \prime}(\eta)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^{2} \mathrm{~d} x=f^{\prime \prime}(\xi) \int_{a}^{b}\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^{2} \mathrm{~d} x=f^{\prime \prime}(\xi) \frac{1}{12}(b-a)^{3} .\]所以
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime}(\xi)(b-a)^{3} .\]评注：
当所证明的等式的一边为积分形式, 另一边为导数形式时, 可将被积函数在所需点（一般 根据导数形式端确定展开点) 展开成泰勒公式, 再作积分, 并对泰勒公式余项做适当的处理 (一般利用 介值定理或积分中值定理).