设 $p, q$ 是两个正有理数, 令 $F$ 为由一切形如 $a+b \sqrt{p}+c \sqrt{q}+d \sqrt{p q}$ 的数作成的集合(其中 $a, b, c, d$ 为任意有理数). 证明: $F$ 作 成一个数域.
证明：
当 $\sqrt{p}, \sqrt{q}$ 中有一个是有理数时, $F$ 显然作成数域.
因此, 下面假定 $\sqrt{p}$ 与 $\sqrt{q}$ 都是无理数.
由于 $(\sqrt{p})^{2}=p,(\sqrt{q})^{2}=q, \sqrt{p} \cdot \sqrt{q}=\sqrt{p q}$ 都属于 $F$, 故 $F$ 对加、减、乘三种运算是封闭的.
设 \(a=a+b \sqrt{p}+c \sqrt{q}+d \sqrt{p q} \in F,\) 且 $a \neq 0, a, b, c, d$ 为有理数, 则
\[\bar{\alpha}=(a+b \sqrt{p})-(c+d \sqrt{p}) \cdot \sqrt{q} \neq 0 .\]若设 $\bar{\alpha}=0$, 从而有
\[a+b \sqrt{p}=(c+d \sqrt{p}) \cdot \sqrt{q} \text {. }\]若 $c+d \sqrt{p} \neq 0$, 则有
\[\sqrt{q}=\frac{a+b \sqrt{p}}{c+d \sqrt{p}}=x+y \sqrt{p} .\]其中 $x=\frac{a c-p b d}{c^{2}-p d^{2}}, \quad y=\frac{b c-a d}{c^{2}-p d^{2}} .$
此时 $\mathrm{F}$ 就是由一切形如 $a+b \sqrt{p}$ 的数 $(a, b$ 是任意有理数 $)$ 作 成的集合, 当然是数域.
因此设 $c+d \sqrt{p}=0$, 从而有 $a+b \sqrt{p}=0$.
由于 $\sqrt{p}$ 是无理数, 故又得 $a=b=c=d=0$, 这与 $a \neq 0$ 矛盾.
因此 $\bar{a} \neq 0$.
于是$\alpha \bar{\alpha}=(a+b \sqrt{p})^{2}-q(c+\alpha \sqrt{p})^{2}=x+y \sqrt{p} \neq 0$, 其中 $x=a^{2}+b^{2} p-q c^{2}-p q d^{2}, \quad y=2 a b-2 c d q$. 由上又得
\[\alpha \bar{\alpha}(x-y \sqrt{p})=x^{2}-p y^{2} \neq 0 .\]从而
\[\frac{1}{\alpha}=\frac{\bar{\alpha}(x-y \sqrt{p})}{x^{2}-p y^{2}} \in F .\]于是可推知 $F$ 对除法也封闭, 因而作成数域.