已知$y^{2}(x d x+y d y)+x(y d x-x d y)=0$，求x,y满足的方程
解 : 方程可化为
\[y^{2} x d x+y^{3} d y+x y d x-x^{2} d y=0\]两边同除以 $y^{2}$, 得 $x d x+y d x+\frac{x(y d x-x d y)}{y^{2}}=0$
\[\Longrightarrow \frac{1}{2} d\left(x^{2}+y^{2}\right)+x d(\frac{x}{y})=0\]令 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$, 则
\[\rho d \rho+\rho \cos \theta d \operatorname{ctg} \theta=0\]即 $\rho d \rho-\frac{d \sin \theta}{\sin ^{2} \theta}=0$ 两边积分得 $\rho=\frac{1}{\sin \theta}+c$
\[\rho=-\frac{\rho}{y}+c$ $\rho^{2}(y+1)^{2}=c^{2} y^{2}\]将 $\frac{1}{\sin \theta}=\frac{\rho}{y}$ 代入得，
\[\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(y^{2}+1\right)^{2}=c^{2} y^{2}\]