判别积分$\int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{~d} x}{1+x^{6} \sin ^{2} x}$的敛散性
解
由于被积函数在x>0时大于0，因此只需要研究变上限积分$F(A)=\int_{0}^{A} \frac{x d x}{1+x^{6} \sin ^{2} x}$在$[0,+\infty)$上的有界性。若有界则收敛，反之发散.又因$F(A)$单调增加，因此只要观察$F(A)$在趋于无穷大的一个点列${A_{n}}$上的函数值序列是否有界即可.
取$A_{n}=n \pi, n \in \mathrm{N}_{+}$，则可以分解积分为
\[\int_{0}^{n \pi} \frac{x d x}{1+x^{6} \sin ^{2} x}=\sum_{k=1}^{n} u_{k}$, 其中 $u_{k}=\int_{(k-1) \pi}^{k \pi} \frac{x d x}{1+x^{6} \sin ^{2} x}\]对于 $u_{k}$ 可估计如下 $(k \geqslant 2)$, 其中对于区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的 $\sin x$ 应用 Jordan 不 等式 $\sin x \geqslant 2 x / \pi$
\[\begin{aligned} u_{k} & \leqslant k \pi \int_{(k-1) \pi}^{k \pi} \frac{\mathrm{d} x}{1+(k-1)^{6} \pi^{6} \sin ^{2} x}=k \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} x}{1+(k-1)^{6} \pi^{6} \sin ^{2} x} \\ &=2 k \pi \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\mathrm{d} x}{1+(k-1)^{6} \pi^{6} \sin ^{2} x} \leqslant 2 k \pi \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\mathrm{d} x(k-1)^{6} \pi^{4} x^{2}}{1+4(k-1)^{3} \pi^{3}} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}} \sim \frac{1}{2 k^{2}} \quad(k \rightarrow \infty) . \\ \end{aligned}\]由于
\[1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}<1+\frac{1}{1 \cdot 2}+\cdots+\frac{1}{(n-1) n}<2\]与 $n$ 无关, 可见函数值序列 ${F(n \pi)}$ 有界, 从而函数 $F(A)$ 在 $0 \leqslant A<+\infty$ 上有 界, 因此本题的广义积分收敛.
注： 由这个例子可见, 无穷限广义积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛时, 其被积函数的极限 $f(+\infty)$ 不仅可以不存在, 而且可以有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$