设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导函数, 且 \(f(b)=0,\lvert f(x) \rvert \leqslant M, x \in[a, b]\).
证明: \(\lvert \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \rvert \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} M\).
分析： 考虑 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}(x-a)$ 的分部积分公式.
证明：
由于
\[\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x &=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}(x-a) \\ &=\left.(x-a) f(x)\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b}(x-a) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \\ &=-\int_{a}^{b}(x-a) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \end{aligned}\]因此
\[\begin{aligned} \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| &=\left|\int_{a}^{b}(x-a) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant M \int_{a}^{b}(x-a) \mathrm{d} x \\ &=\left.\frac{M}{2}(x-a)^{2}\right|_{a} ^{b}=\frac{(b-a)^{2}}{2} M \end{aligned}\]