试在 $[0,1]$ 中做一个由某些无理数构成的闭集 $F$, 使得 $m(F)>0$
证: 记 $[0,1]$ 中全体有理数为 $r_{n}(n=1,2, \ldots)$,
令 $E_{n}=\left(r_{n}-\frac{1}{2^{n+2}}, r_{n}+\frac{1}{2^{n+2}}\right) \mid(0,1)$
则 $E=\bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n}$ 为开集, 且 $m(E) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}$ ； 令 $F=[0,1] \backslash E$,
则 $F$ 为闭集, 且 $m(F)=m([0,1] \backslash E) \geq \frac{1}{2}>0$, 所以 $F$ 为闭集。