题目： 设随机变量列 ${X_{n}}$ 独立同分布, 具有有限的均值 $\mu$ 与方差 $\sigma^{2}$, 下面记 \(\bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n}\)
求证随机变量 \(\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}}\) 依分布收敛至服从 $N(0,1)$ 的随机变量
证明. 注意到由中心极限定理 \(\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}-\mu}{\sigma \sqrt{n}}\) 的极限分布服从于 $N(0,1)$, 下面考察
\[\begin{aligned} & \frac{1}{n \sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{r}-\bar{X}\right)^{2} \\ =& \frac{1}{n \sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-\frac{2}{n \sigma^{2}}(\bar{X}-\mu) \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)+\frac{1}{\sigma^{2}}(\bar{X}-\mu)^{2} \end{aligned}\]上式第一项由辛钦大数定律可知依概率收敛到 1 , 后者依概率收敛到 0 . 故可知上式依概率收 敛到 1 注意到原随机变量即 \(\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}-\mu}{\sigma \sqrt{n}} / \sqrt{\frac{1}{n \sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{r}-\bar{X}\right)^{2}}\)
其中分子依分布收敛至服从 $N(0,1)$ 的随机变量, 分母依概率收敛到常数 1 , 由斯卢茨基定理 得知往证随机变量的极限分布服从 $N(0,1)$
注 1. 本题来自于《One Thousand Exercises in Probability》 的习题 7.3.13, 这一题目在 结论上是直观而符合 “常理” 的, 求解难度也不大, 可以想到的解法也不限于上面这种, 这里 由 i.i.d 的条件想到辛钦大数定律是不难理解的 (同样想到特征函数也很直接)。
推导中用到了有关依概率收敛的运算性质在《概率论基础》习题 $5.26 、 5.27$ 中出现; 斯 卢茨基定理在《概率论基础》习题 $5.25$ 中出现, 这一定理简单表述即：若一个随机变量列依 分布收敛, 另一个随机变量列依概率收敛， 则其和、差、积、商必然依分布收敛。
《概率论基础》习题 $5.37$ 中将待证明的随机变量分别换成服从均匀分布、泊松分布、 $\Gamma$ 分 布的随机变量, 并使用特征函数的方法证明了类似的结论, 使用特征函数处理回避了斯卢茨 基定理的使用。
——————————这是一道分割线————————
❆ ❅ . ❆ . ∧＿∧ ❅ ❆
❅ ❆ ( ・∀・)/ 平安夜快乐~ ~ ~ ~ ~（没有人一起过平安夜就做做题吧） . ⊂ ノ❅ ❆
❆ ❅ (つ ノ .❆ (ノe