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请给出Laplace算符在柱坐标下的表示，即$x=\rho\cos\varphi,y=\rho\sin \varphi,z=z$时的$\nabla^2=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$的表示

证明: $x^{d}-1 \mid x^{n}-1$, 当且仅当 $d \mid n$.

设 $z=f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2 x, f(x, 1)=0, \frac{\partial f(x, 0)}{\partial y}=\sin {x}$,

求$f(x, y)$.

求$\lim\limits_{x \to \infty} I_n$，其中 \(I_n=\int_1^{1+\frac{1}{n}}\sqrt{(1+x^n)}dx\)

题目：设 $f(x)$ 三阶可导, 且 $f^{\prime \prime \prime}(a) \neq 0$, \(f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}[a+\theta(x-a)](x-a)^{2}}{2} \quad(0<\theta<1),\) 求证: $\lim _{x \rightarrow a} \theta=\frac{1}{3}$.

题目：

\[\text { 设 } \boldsymbol{A} \text { 是 } n \text { 阶正定矩阵, } \boldsymbol{B} \text { 是 } n \text { 阶实矩阵. } \\(1)证明 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} 与 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} 合同. \\(2) 若 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A} 正定, 证明 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^{-1}负定\]

题目： 若函数 $f$ 在点 $x_{0}$ 处 $n$ 阶可微, 且满足条件

\[f^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=\cdots=f^{(n-1)}\left(x_{0}\right)=0, f^{(n)}\left(x_{0}\right) \neq 0,:\]

试证明：

(1) 若 $n$ 为奇数, 则 $x_{0}$ 一定不是 $f$ 的极值点;

(2) 若 $n$ 为偶数, 则当 $f^{(n)}\left(x_{0}\right)>0(<0)$ 时, $x_{0}$ 是函数 $f$ 的极小值点 (极大值点).

题目：求

\[\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{\pi-t} d t d x\]