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题目： （1）设 $f(x) \in C^{(1)} \in(-\infty,+\infty)$, 且对于任何 $x$ 和 $h$ 成立恒等式 $f(x+h)-f(x)=h f^{\prime}(x)$. 证明 : $f(x)=a x+b$, (其中 $a$ 和 $b$ 为常数)

（2）设 $f(x) \in C^{(2)}(-\infty,+\infty)$, 且对于任何 $x$ 和 $h$ 成立恒等式 $f(x+h)-f(x) \equiv h f^{\prime}\left(x+\frac{h}{2}\right)$. 证明 : $f(x)=a x^{2}+b x+c$, (其中 $a, b$ 和 $c$ 为常数)

证明 \(\lim_{x\rightarrow0}\frac{(e^{sinx}+sinx)^{\frac{1}{sinx}}-(e^{tanx}+tanx)^{\frac{1}{tanx}}}{x^3}=\frac34 e^2\)

题目： \(\begin{align} &设F(x)是f(x)的一个原函数，且当x≥0时，有f(x)F(x)=\frac{x^2 e^x}{(x+2)^2}. \\&若F(0)=1，F(x)＞0，求F(x)的表达式 \end{align}\)

题目： \(\begin{align} \\&M_{2×2}是所有2×2矩阵构成的向量空间，定义T：M_{2×2}\rightarrow M_{2×2}，为T（A）=A+A^T \\&其中A= \left[\begin{matrix} a & b\\ c & d \end{matrix}\right] \\&(1)证明T是线性变换 \\&(2)B\in M_{2×2}，且B^T=B,求A\in M_{2×2},使得T(A)=B \\&(3)证明T的值域是M_{2×2}中满足B^T=B的集合 \end{align}\)

题目： \(若函数f：(0，+∞)→(0，+∞)满足f^\prime(\frac{1}{x})=\frac{x}{f(x)}，求f(x)\)

\[\begin{align} \\&设函数f(x)在点x_0处可导，l(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)(x-x_0)，试证明对于不等于l(x)的其他任何 \\&L(x)=ax+b,存在\delta ＞0，使得当0<|x-x_0|<\delta \ 时,成立不等式： \\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |f(x)-l(x)|＜ |f(x)-L(x)| \end{align}\]