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设 $p, q$ 是两个正有理数, 令 $F$ 为由一切形如 $a+b \sqrt{p}+c \sqrt{q}+d \sqrt{p q}$ 的数作成的集合(其中 $a, b, c, d$ 为任意有理数). 证明: $F$ 作 成一个数域.

已知$y^{2}(x d x+y d y)+x(y d x-x d y)=0$，求x,y满足的方程

设 $f(x) \in C^{(2)}[a, b]$, 试证: $\exists \xi \in(a, b)$, 使 \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime}(\xi)(b-a)^{3}\)

\[\text { 设数 } a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \text { 互异. 解方程组 }\] \[\left\{\begin{array}{c} x_{1}+a_{1} x_{2}+\cdots+a_{1}^{n-1} x_{n}=-a_{1}^{n} \\ x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{2}^{n-1} x_{n}=-a_{2}^{n} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_{1}+a_{n} x_{2}+\cdots+a_{n}^{n-1} x_{n}=-a_{n}^{n} \end{array}\right.\]

计算 \(I=\int_{0}^{\pi} \frac{(x+2) \sin x}{1+(\cos x)^{2}} d x\)

题目： \(\text { 试证明 } \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x=0 \text {. }\)

(1) \(\int \frac {1-\ln{x}}{（{x-\ln{x}}）^2}dx\)

(2) \(\int \frac{x+1}{x(1+xe^x)}dx\)

设 $y=\varphi(x)(x \geq 0)$ 是严格单调增加的连续函数，$\varphi(0) = 0,x=\psi(y)$ 是它的反函数，证明： \(\int_0^a \varphi(x)dx + \int_0^b \psi(x)dx \geq ab (a \geq 0 , b \geq 0)\)