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题目： 设随机变量列 ${X_{n}}$ 独立同分布, 具有有限的均值 $\mu$ 与方差 $\sigma^{2}$, 下面记 \(\bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n}\)

求证随机变量 \(\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}}\) 依分布收敛至服从 $N(0,1)$ 的随机变量

\[A=\left[\begin{array}{ccc}0.5 & 0.2 & 0.3 \\ 0.3 & 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0 & 0.4\end{array}\right]\]

（1）求A的特征向量$ v_1,v_2,v_3$ 与特征值

（2）$ x_0$是$ R^3$ 中的任一向量，其分量均非负且各分量和为1.证明：

\[\exists c_1,c_2,c_3,有x_0=c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3，且c_1=1\]

（3）对（2）中的$ x_0$ ，定义$ x_k=A^kx_0$ ,证明:

\[\lim_{k\rightarrow \infty }x_k=v_1\]

题目：向一目标射击, 目标中心为坐标原点, 已知命中点的横坐标 $X$ 和纵坐标 $Y$ 相 互独立, 且均服从 $N\left(0,2^{2}\right)$ 分布. 求

(1) 命中环形区域 \(D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 2\right\}\) 的概率;

(2) 命中点到目标中心距离 $Z=\sqrt{X^{2}+Y^{2}}$ 的数学期望.

题目：

\[\text { Bernstein定理: } 设 f 在 (a, b) 内无穷阶可导, 且各阶导数均只取正值. \\证明: 对 \forall x_{0} \in(a, b), \exists r> 0, \mathrm{~s} . \mathrm{t}. 当 x \in\left[x_{0}-r, x_{0}+r\right] \subset(a, b) 时,有 \\ f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k !}\left(x-x_{0}\right)^{k} .\]

题目：计算积分

\[\begin{align} \\&(1)\int \frac{7 \sin x+\cos x}{3 \sin x+4 \cos x} \mathrm{~d} x \text {. } \\&(2) \int \frac{1+\sin x}{1+\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x \end{align}\]

题目： \(设A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots&\ &\cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right)为实对称矩阵. \\证明: 如果 A 的主对角线上所有元素的和以 及所有 二 阶主子式的和都是零, 则 A 必为零矩阵.\)

题目： \(\text { 设函数 } f(x) \text { 连续, 且 } f(x+1)-f(x)=\mathrm{e}^{x}+2 x+1 \text {. 若 } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{4}{3} \text {, 求 } \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x \text {. }\)

题目：计算积分 $\iint_{S}(y+z) d y d z+(z+x) d z d x+(x+y) d x d y$. 其 S是立方体 ${0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1} $ 与平面 $x+y+z=\frac{3}{2} $ 相交而成的平面 定向取向上方向