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试在 $[0,1]$ 中做一个由某些无理数构成的闭集 $F$, 使得 $m(F)>0$

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导函数, 且 \(f(b)=0,\lvert f(x) \rvert \leqslant M, x \in[a, b]\).

证明: \(\lvert \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \rvert \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} M\).

判别积分$\int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{~d} x}{1+x^{6} \sin ^{2} x}$的敛散性

问题：相合估计

定义

我们已经知道，相合性是评价参数估计优劣的一种方法。我们所熟知的相合性的定义是：

$\int_{a}^{+\infty} \frac{x \ln x}{\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$,

计算 $F(x)=\int \frac{1}{\sqrt{1+e^{x}}+\sqrt{1-e^{x}}} \mathrm{~d} x$

题目

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且单调增加, 证明: $\int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$.