题目： \(求矩阵A_{n}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & \cdots & n \\ n+1 & n+2 & \cdots & 2 n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n(n-1)+1 & n(n-1)+2 & \cdots & n^{2}\end{array}\right] 的特征值\)

题目1

设总体 $X$ 的概率分布为

其中参数 $\theta \in(0,1)$ 末知, 以 $N_{i}$ 表示来自 总体 $X$ 的简单随机样本 (样本容量为 $n$ ) 中等于 $i$ 的个数 $(i=1,2,3)$, 试求常数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, 使 $T=\sum_{i=1}^{3} a_{i} N_{i}$ 为 $\theta$ 的无偏估计量, 并求 $T$ 的方差.

证明： \(若函数f(x)在无穷的区间(x_0,+\infty)内可微，且\lim_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0, \\则\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}=0,即:当x\rightarrow+\infty时，f(x)=o(x)\)

题目：（今天依旧是中值定理） \(f(x)在[0.3]上二阶可导，且有2f(0)=\int_0^2f(x)dx=f(2)+f(3). \\试证明:\exists\ \xi \in[0,3]使得f''(\xi)=0\)

题目：设 $A, B$ 都是 $m \times n$ 矩阵, $A=B U, B=A V$, 这里$U 、 V$ 都是 $n$ 阶方阵. 证明: 存在可逆矩阵 $T$, 使 $B=A T$.

题目：求极限 \(\lim _{x\rightarrow0}\frac{1-\prod_{i=1}^{n}\cos(ix)}{x^2}\)

题目： \(\begin{aligned} &\text { (1) 设 } f(x) \in C^{(2)}[0,1], f(0)=f(1)=0, \text { 且当 } x \in(0,1) \text { 时 }\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq A \\ &\text { 证明: 当 } 0 \leq x \leq 1 \text { 时，有 }\left|f^{\prime}(x)\right| \leq \frac{A}{2} \\ &\text { (2)设 } f(x)(-\infty<x<+\infty) \text { 为二阶可微函数, 且 } M_{k}=\sup _{-\infty<x<+\infty}\left|f^{(k)}(x)\right|<+\infty(k=0,1,2) . \\ &\text { 证明不等式: } M^{2} \leq 2 M_{0} M_{2} \end{aligned}\)

题目： \(设\xi,\eta是随机变量，证明:\xi 与\eta独立当且仅当对任何有界Borel可测函数g\\ 有E(g(\xi \ |\ \eta))=E(g(\xi))，也等价于对\forall x \in R,E(e^{ix\xi}|\eta)=Ee^{ix\xi}\)